高一数学公式总结大全

《高一数学公式总结大全》是高中数学学习的重要参考资料，它系统地整理了高一阶段需要掌握的各类公式、定理和常用结论。对于学生而言，熟练掌握这些公式是解决数学问题的基础，也是提高解题效率的关键。一个全面、清晰的公式总结，能够帮助学生更好地理解数学概念，构建完整的知识体系，为后续的数学学习打下坚实的基础。本文将呈现几篇不同侧重点的《高一数学公式总结大全》范文，旨在为读者提供多角度、全方位的公式整理，以便根据自身需求选择合适的版本进行学习和复习。这些范文涵盖了集合、函数、三角函数、平面向量、数列等高一数学的核心内容，力求详尽、准确、易懂，帮助读者高效掌握数学公式，提升数学能力。

篇一：《高一数学公式总结大全》

集合

1. 集合的概念:

   • 集合中元素的特性：确定性、互异性、无序性。
   • 集合的表示方法：列举法、描述法、文氏图法。
   • 常用数集：自然数集N，整数集Z，有理数集Q，实数集R。

2. 集合间的关系:

   • 子集：A⊆B (A的任何元素都是B的元素)
   • 真子集：A⊂B (A是B的子集，且A≠B)
   • 空集：∅ (不含任何元素的集合，是任何集合的子集，任何非空集合的真子集)
   • 集合相等：A=B (A, B的元素完全相同)

3. 集合的运算:

   • 并集：A∪B = {x | x∈A 或 x∈B}
   • 交集：A∩B = {x | x∈A 且 x∈B}
   • 补集：CUA = {x | x∈U 且 x∉A} (U为全集)

函数

1. 函数的概念:

   • 定义：设A、B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f: A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作 y = f(x), x∈A。
   • 定义域：集合A (x的取值范围)
   • 值域：{y | y = f(x), x∈A}
   • 函数图像：由所有点(x, f(x))组成的图形，其中x∈A。

2. 函数的性质:

   • 单调性：
     • 增函数：在区间D上，若对任意x1, x2 ∈D，且x1<x2，都有f(x1)<f(x2)，则称f(x)在D上是增函数。
     • 减函数：在区间D上，若对任意x1, x2 ∈D，且x1 f(x2)，则称f(x)在D上是减函数。
   • 奇偶性：
     • 奇函数：f(-x) = -f(x) (图像关于原点对称，若f(x)在x=0处有定义，则f(0)=0)
     • 偶函数：f(-x) = f(x) (图像关于y轴对称)
   • 周期性：存在非零常数T，使得f(x+T) = f(x) 对定义域内的任何x都成立，则称f(x)是周期函数，T为周期。

3. 常见函数:

   • 一次函数：y = kx + b (k, b为常数，k≠0)
   • 二次函数：y = ax² + bx + c (a, b, c为常数，a≠0)
   • 反比例函数：y = k/x (k为常数，k≠0)
   • 指数函数：y = a^x (a>0, a≠1)
   • 对数函数：y = logₐx (a>0, a≠1)

4. 函数图像的变换:

   • 平移变换：
     • 左移/右移：y = f(x) → y = f(x ± a)
     • 上移/下移：y = f(x) → y = f(x) ± b
   • 伸缩变换：
     • 横向伸缩：y = f(x) → y = f(ωx)
     • 纵向伸缩：y = f(x) → y = Af(x)
   • 对称变换：
     • 关于x轴对称：y = f(x) → y = -f(x)
     • 关于y轴对称：y = f(x) → y = f(-x)
     • 关于原点对称：y = f(x) → y = -f(-x)

三角函数

1. 角的概念:

   • 角的定义：一条射线绕其端点从起始位置旋转到终止位置所形成的图形。
   • 正角、负角、零角。
   • 象限角：将角放在直角坐标系中，角的终边落在第几象限，就称该角为第几象限角。
   • 终边相同的角：α + k·360° (k∈Z)

2. 弧度制:

   • 定义：长度等于半径的弧所对的圆心角叫做1弧度的角。
   • 弧度与角度的换算：180° = π 弧度
   • 弧长公式：l = |α|r
   • 扇形面积公式：S = (1/2)lr = (1/2)|α|r²

3. 三角函数的定义:

   • 设α是一个任意角，它的终边上一点P(x, y)，r = √(x² + y²) > 0
   • 正弦函数：sinα = y/r
   • 余弦函数：cosα = x/r
   • 正切函数：tanα = y/x
   • 余切函数：cotα = x/y
   • 正割函数：secα = r/x
   • 余割函数：cscα = r/y

4. 特殊角的三角函数值:

| 角度 (°) | 角度 (弧度) | sinα | cosα | tanα ||---|---|---|---|---|| 0 | 0 | 0 | 1 | 0 || 30 | π/6 | 1/2 | √3/2 | √3/3 || 45 | π/4 | √2/2 | √2/2 | 1 || 60 | π/3 | √3/2 | 1/2 | √3 || 90 | π/2 | 1 | 0 | 不存在 || 180 | π | 0 | -1 | 0 || 270 | 3π/2 | -1 | 0 | 不存在 || 360 | 2π | 0 | 1 | 0 |

1. 三角函数的关系:

   • 平方关系：sin²α + cos²α = 1
   • 商数关系：tanα = sinα/cosα
   • 倒数关系：tanα · cotα = 1, sinα · cscα = 1, cosα · secα = 1

2. 诱导公式: (口诀：奇变偶不变，符号看象限)

   • sin(α + 2kπ) = sinα, cos(α + 2kπ) = cosα, tan(α + 2kπ) = tanα (k∈Z)
   • sin(π + α) = -sinα, cos(π + α) = -cosα, tan(π + α) = tanα
   • sin(-α) = -sinα, cos(-α) = cosα, tan(-α) = -tanα
   • sin(π - α) = sinα, cos(π - α) = -cosα, tan(π - α) = -tanα
   • sin(π/2 - α) = cosα, cos(π/2 - α) = sinα
   • sin(π/2 + α) = cosα, cos(π/2 + α) = -sinα

3. 三角函数的图像与性质:

   • 正弦函数 y = sinx
     • 定义域：R
     • 值域：[-1, 1]
     • 周期：2π
     • 奇偶性：奇函数
     • 单调性：在[-π/2 + 2kπ, π/2 + 2kπ]上单调递增，在[π/2 + 2kπ, 3π/2 + 2kπ]上单调递减 (k∈Z)
   • 余弦函数 y = cosx
     • 定义域：R
     • 值域：[-1, 1]
     • 周期：2π
     • 奇偶性：偶函数
     • 单调性：在[-π + 2kπ, 2kπ]上单调递增，在[2kπ, π + 2kπ]上单调递减 (k∈Z)
   • 正切函数 y = tanx
     • 定义域：{x | x ≠ π/2 + kπ, k∈Z}
     • 值域：R
     • 周期：π
     • 奇偶性：奇函数
     • 单调性：在(-π/2 + kπ, π/2 + kπ)上单调递增 (k∈Z)

4. 三角恒等变换:

   • 和角公式：
     • sin(α + β) = sinαcosβ + cosαsinβ
     • cos(α + β) = cosαcosβ - sinαsinβ
     • tan(α + β) = (tanα + tanβ) / (1 - tanαtanβ)
   • 差角公式：
     • sin(α - β) = sinαcosβ - cosαsinβ
     • cos(α - β) = cosαcosβ + sinαsinβ
     • tan(α - β) = (tanα - tanβ) / (1 + tanαtanβ)
   • 二倍角公式：
     • sin2α = 2sinαcosα
     • cos2α = cos²α - sin²α = 2cos²α - 1 = 1 - 2sin²α
     • tan2α = 2tanα / (1 - tan²α)
   • 半角公式：
     • sin(α/2) = ±√((1 - cosα)/2)
     • cos(α/2) = ±√((1 + cosα)/2)
     • tan(α/2) = ±√((1 - cosα)/(1 + cosα)) = sinα/(1 + cosα) = (1 - cosα)/sinα
   • 万能公式：
     • sinα = (2tan(α/2)) / (1 + tan²(α/2))
     • cosα = (1 - tan²(α/2)) / (1 + tan²(α/2))
     • tanα = (2tan(α/2)) / (1 - tan²(α/2))
   • 积化和差：
     • sinαcosβ = (1/2)[sin(α + β) + sin(α - β)]
     • cosαsinβ = (1/2)[sin(α + β) - sin(α - β)]
     • cosαcosβ = (1/2)[cos(α + β) + cos(α - β)]
     • sinαsinβ = -(1/2)[cos(α + β) - cos(α - β)]
   • 和差化积：
     • sinα + sinβ = 2sin((α + β)/2)cos((α - β)/2)
     • sinα - sinβ = 2cos((α + β)/2)sin((α - β)/2)
     • cosα + cosβ = 2cos((α + β)/2)cos((α - β)/2)
     • cosα - cosβ = -2sin((α + β)/2)sin((α - β)/2)

5. 解三角形:

   • 正弦定理：a/sinA = b/sinB = c/sinC = 2R (R为外接圆半径)
   • 余弦定理：a² = b² + c² - 2bc·cosA, b² = a² + c² - 2ac·cosB, c² = a² + b² - 2ab·cosC
   • 面积公式：S = (1/2)bc·sinA = (1/2)ac·sinB = (1/2)ab·sinC = (1/2)ahₐ = (1/2)bhь = (1/2)chс (hₐ, hь, hс 分别为a, b, c边上的高)

平面向量

1. 向量的概念:

   • 定义：既有大小又有方向的量。
   • 表示方法：用有向线段表示，起点A，终点B，记作AB，或者用字母a, b, c等表示。
   • 零向量：长度为0的向量，记作0，方向是任意的。
   • 单位向量：长度为1的向量。
   • 平行向量（共线向量）：方向相同或相反的向量。
   • 相等向量：长度相等且方向相同的向量。
   • 相反向量：长度相等且方向相反的向量。

2. 向量的运算:

   • 向量加法：
     • 三角形法则：将两个向量首尾相连，结果是由第一个向量的起点指向第二个向量的终点的向量。
     • 平行四边形法则：将两个向量的起点放在一起，以这两个向量为邻边作平行四边形，结果是由起点指向对角顶点的向量。
     • 坐标运算：a = (x1, y1), b = (x2, y2)，则a + b = (x1 + x2, y1 + y2)
   • 向量减法：
     • 三角形法则：将两个向量的起点放在一起，结果是由第二个向量的终点指向第一个向量的终点的向量。
     • 坐标运算：a = (x1, y1), b = (x2, y2)，则a - b = (x1 - x2, y1 - y2)
   • 数乘向量：
     • λa (λ为实数)：长度变为原来的|λ|倍，方向：λ>0时与a相同，λ<0时与a相反，λ=0时为零向量。
     • 坐标运算：a = (x, y)，则λa = (λx, λy)
   • 向量的数量积 (点积)：
     • 定义：a · b = |a||b|cosθ (θ为a, b的夹角)
     • 坐标运算：a = (x1, y1), b = (x2, y2)，则a · b = x1x2 + y1y2
     • 性质：
       • a · a = |a|²
       • a ⊥ b a · b = 0 (非零向量)
       • cosθ = (a · b) / (|a||b|)
   • 向量的夹角公式：
     • cosθ = (x1x2 + y1y2) / (√(x1² + y1²)√(x2² + y2²))

3. 向量的应用:

   • 判断向量是否平行/共线：a // b x1y2 - x2y1 = 0 (坐标运算)
   • 求向量的模：|a| = √(x² + y²) (a = (x, y))
   • 求两点间的距离：|AB| = √((x2 - x1)² + (y2 - y1)²) (A(x1, y1), B(x2, y2))

数列

1. 数列的概念:

   • 定义：按照一定顺序排列的一列数。
   • 项：数列中的每一个数。
   • 通项公式：aₙ (表示第n项与n之间的关系式)
   • 递推公式：aₙ₊₁ = f(aₙ) (表示后一项与前一项之间的关系式)

2. 等差数列:

   • 定义：从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数（公差），即 aₙ₊₁ - aₙ = d (d为常数)。
   • 通项公式：aₙ = a₁ + (n - 1)d
   • 前n项和公式：Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2 = na₁ + n(n - 1)d/2
   • 性质：
     • 若m + n = p + q，则aₘ + aₙ = aₚ + a
     • 若数列{aₙ}是等差数列，则{kaₙ + b}也是等差数列 (k, b为常数)

3. 等比数列:

   • 定义：从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数（公比），即 aₙ₊₁/aₙ = q (q为常数，q≠0)。
   • 通项公式：aₙ = a₁qⁿ⁻¹
   • 前n项和公式：Sₙ = a₁(1 - qⁿ)/(1 - q) (q≠1), Sₙ = na₁ (q=1)
   • 性质：
     • 若m + n = p + q，则aₘaₙ = aₚa
     • 若数列{aₙ}是等比数列，则{kaₙ}也是等比数列 (k为常数)

篇二：《高一数学公式总结大全》（侧重函数图像与性质）

本篇范文侧重于函数图像与性质的详细阐述，包括函数图像的绘制技巧，以及如何利用图像分析函数的性质，如单调性、奇偶性、周期性等。此外，还加入了复合函数、分段函数等特殊函数的讨论。

函数

1. 函数的概念与表示

   • 定义： 设A、B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f: A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作 y = f(x), x∈A。
   • 定义域： 集合A (x的取值范围)，求定义域的常见依据：
     • 分母不为零
     • 偶次根式下为非负数
     • 对数真数为正数
     • 指数、对数的底数为正数且不为1
     • 零指数幂底数不为零
   • 值域： {y | y = f(x), x∈A}，求值域的常用方法：
     • 配方法：适用于二次函数
     • 判别式法：适用于可化为二次方程的函数
     • 分离常数法：适用于形如y = (ax + b) / (cx + d)的函数
     • 换元法：适用于复杂函数，常与三角函数结合
     • 单调性法：适用于已知单调区间的函数
     • 最值法：适用于有界函数，如三角函数
     • 不等式法：利用基本不等式求最值
   • 函数图像： 由所有点(x, f(x))组成的图形，其中x∈A。

2. 函数的性质

   • 单调性：
     • 定义： 设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D内的任意两个自变量x1, x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是增函数；当x1 f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是减函数。
     • 判断方法：
       • 定义法：
         1. 取值：任取x1, x2 ∈ D，且x1 < x2
         2. 作差：f(x1) - f(x2)
         3. 变形：将f(x1) - f(x2)变形为易于判断符号的形式
         4. 判断：判断f(x1) - f(x2)的符号
         5. 结论：根据符号判断f(x)在D上的单调性
       • 导数法：若f'(x) > 0 在区间D上恒成立，则f(x)在D上是增函数；若f'(x) < 0 在区间D上恒成立，则f(x)在D上是减函数。
     • 复合函数的单调性： 同增异减。
   • 奇偶性：
     • 定义： 对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，若f(-x) = f(x)，则称f(x)为偶函数；若f(-x) = -f(x)，则称f(x)为奇函数。
     • 判断方法：
       1. 首先判断定义域是否关于原点对称，若不对称，则函数不具有奇偶性。
       2. 若定义域关于原点对称，则判断f(-x)与f(x)的关系，从而判断函数的奇偶性。
     • 性质：
       • 奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。
       • 奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性。
       • 若奇函数f(x)在x=0处有定义，则f(0) = 0。
   • 周期性：
     • 定义： 对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得对定义域内的任意x，都有f(x+T) = f(x)，那么就称函数f(x)为周期函数，T称为这个函数的周期。
     • 常见结论：
       • 若f(x+a) = -f(x)，则T = 2a。
       • 若f(x+a) = 1/f(x)，则T = 2a。
       • 若f(x+a) = -1/f(x)，则T = 2a。
   • 对称性：
     • 轴对称： 若f(a+x) = f(a-x)，则函数f(x)的图像关于直线x=a对称。
     • 中心对称： 若f(a+x) + f(a-x) = 2b，则函数f(x)的图像关于点(a, b)对称。

3. 常见函数及其图像与性质

   • 一次函数： y = kx + b (k, b为常数，k≠0)
     • 图像：直线
     • 单调性：当k>0时，单调递增；当k<0时，单调递减
     • 奇偶性：当b=0时，为奇函数；当b≠0时，既不是奇函数也不是偶函数
   • 二次函数： y = ax² + bx + c (a, b, c为常数，a≠0)
     • 图像：抛物线
     • 顶点坐标：(-b/2a, (4ac-b²)/4a)
     • 对称轴：x = -b/2a
     • 单调性：当a>0时，在(-∞, -b/2a]上单调递减，在[-b/2a, +∞)上单调递增；当a<0时，在(-∞, -b/2a]上单调递增，在[-b/2a, +∞)上单调递减
     • 奇偶性：当b=0时，为偶函数；当b≠0时，既不是奇函数也不是偶函数
   • 反比例函数： y = k/x (k为常数，k≠0)
     • 图像：双曲线
     • 对称性：关于原点对称，关于直线y=x和y=-x对称
     • 单调性：当k>0时，在(-∞, 0)和(0, +∞)上单调递减；当k<0时，在(-∞, 0)和(0, +∞)上单调递增
     • 奇偶性：奇函数
   • 指数函数： y = a^x (a>0, a≠1)
     • 图像：
       • 当a>1时，图像单调递增，经过点(0, 1)，在x轴上方
       • 当0<a<1时，图像单调递减，经过点(0, 1)，在x轴上方
     • 定义域：R
     • 值域：(0, +∞)
     • 奇偶性：非奇非偶函数
   • 对数函数： y = logₐx (a>0, a≠1)
     • 图像：
       • 当a>1时，图像单调递增，经过点(1, 0)，在y轴右侧
       • 当0<a<1时，图像单调递减，经过点(1, 0)，在y轴右侧
     • 定义域：(0, +∞)
     • 值域：R
     • 奇偶性：非奇非偶函数
   • 三角函数： y = sinx, y = cosx, y = tanx
     • (详见三角函数部分)

4. 函数图像的变换

   • 平移变换：
     • 左移/右移： y = f(x) → y = f(x ± a) (a>0时，左加右减)
     • 上移/下移： y = f(x) → y = f(x) ± b (b>0时，上加下减)
   • 伸缩变换：
     • 横向伸缩： y = f(x) → y = f(ωx) (ω>1时，缩短；0<ω<1时，伸长)
     • 纵向伸缩： y = f(x) → y = Af(x) (A>1时，伸长；0<A<1时，缩短)
   • 对称变换：
     • 关于x轴对称： y = f(x) → y = -f(x)
     • 关于y轴对称： y = f(x) → y = f(-x)
     • 关于原点对称： y = f(x) → y = -f(-x)
     • 关于直线y=x对称： y = f(x) → x = f(y) (求反函数)

5. 特殊函数

   • 复合函数： y = f(g(x))
     • 定义域： 需满足g(x)有意义，且g(x)的值域在f(x)的定义域内。
     • 单调性： 同增异减。
   • 分段函数： 在定义域的不同区间上，有不同的解析式。
     • 注意： 分段函数是一个函数，要整体考虑其性质，如定义域、值域、单调性、奇偶性等。

篇三：《高一数学公式总结大全》（侧重三角函数与向量的应用）

本篇范文着重于三角函数恒等变换和解三角形，以及平面向量在几何问题和物理问题中的应用。内容包括三角函数公式的灵活运用、正余弦定理的应用技巧、向量的坐标表示和应用，以及利用向量解决角度、距离等问题。

三角函数

1. 基本概念回顾

   • 角的概念： 任意角、弧度制、象限角、终边相同的角。
   • 三角函数的定义： 正弦、余弦、正切、余切的定义，定义域，符号。
   • 特殊角的三角函数值： 熟记0°, 30°, 45°, 60°, 90° 等特殊角的三角函数值。

2. 三角函数关系

   • 平方关系： sin²α + cos²α = 1
   • 商数关系： tanα = sinα/cosα
   • 倒数关系： sinα · cscα = 1, cosα · secα = 1, tanα · cotα = 1

3. 诱导公式

   • 记忆口诀： 奇变偶不变，符号看象限。
   • 具体公式：
     • sin(α + 2kπ) = sinα, cos(α + 2kπ) = cosα, tan(α + 2kπ) = tanα (k∈Z)
     • sin(π + α) = -sinα, cos(π + α) = -cosα, tan(π + α) = tanα
     • sin(-α) = -sinα, cos(-α) = cosα, tan(-α) = -tanα
     • sin(π - α) = sinα, cos(π - α) = -cosα, tan(π - α) = -tanα
     • sin(π/2 - α) = cosα, cos(π/2 - α) = sinα
     • sin(π/2 + α) = cosα, cos(π/2 + α) = -sinα

4. 三角恒等变换

   • 和角公式：
     • sin(α + β) = sinαcosβ + cosαsinβ
     • cos(α + β) = cosαcosβ - sinαsinβ
     • tan(α + β) = (tanα + tanβ) / (1 - tanαtanβ)
   • 差角公式：
     • sin(α - β) = sinαcosβ - cosαsinβ
     • cos(α - β) = cosαcosβ + sinαsinβ
     • tan(α - β) = (tanα - tanβ) / (1 + tanαtanβ)
   • 二倍角公式：
     • sin2α = 2sinαcosα
     • cos2α = cos²α - sin²α = 2cos²α - 1 = 1 - 2sin²α
     • tan2α = 2tanα / (1 - tan²α)
   • 半角公式： （常用辅助角法推导）
     • sin(α/2) = ±√((1 - cosα)/2)
     • cos(α/2) = ±√((1 + cosα)/2)
     • tan(α/2) = ±√((1 - cosα)/(1 + cosα)) = sinα/(1 + cosα) = (1 - cosα)/sinα
   • 万能公式： （用t=tan(α/2)表示sinα, cosα, tanα）
     • sinα = (2t) / (1 + t²)
     • cosα = (1 - t²) / (1 + t²)
     • tanα = (2t) / (1 - t²)
   • 积化和差、和差化积： （了解即可，不作重点要求）

5. 解三角形

   • 正弦定理： a/sinA = b/sinB = c/sinC = 2R (R为外接圆半径)
     • 应用：
       • 已知两角和一边，求其他边和角。
       • 已知两边和其中一边的对角，求其他的边和角（注意解的个数）。
   • 余弦定理： a² = b² + c² - 2bc·cosA, b² = a² + c² - 2ac·cosB, c² = a² + b² - 2ab·cosC
     • 应用：
       • 已知三边，求三个角。
       • 已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角。
   • 面积公式： S = (1/2)bc·sinA = (1/2)ac·sinB = (1/2)ab·sinC
     • S = pr (p为半周长，r为内切圆半径)
     • 海伦公式：S = √(p(p-a)(p-b)(p-c))

平面向量

1. 基本概念回顾

   • 向量的定义： 既有大小又有方向的量。
   • 向量的表示： 几何表示法、坐标表示法。
   • 零向量、单位向量、平行向量、相等向量、相反向量。

2. 向量的运算

   • 向量加法：
     • 几何意义： 三角形法则、平行四边形法则。
     • 坐标运算： a = (x