求极限是高等数学中一个至关重要的概念，它贯穿于微积分的始终，是学习导数、积分等后续内容的基础。掌握求极限的各种方法，不仅能帮助我们理解函数的性质，更能有效解决实际问题。因此，对求极限方法进行系统性总结显得尤为必要。本文旨在梳理和归纳常用的求极限方法，并通过精选范文进行详细解析，帮助读者深刻理解并灵活运用这些方法，从而提高解决极限问题的能力。本文将呈现多篇侧重点各异的《求极限的方法总结》范文，力求全面覆盖各种题型与技巧。
篇1：《求极限的方法总结》
极限是高等数学中一个重要的概念，它贯穿于整个微积分学。求极限是解决许多数学问题的基础，因此，掌握求极限的各种方法至关重要。本文将系统地总结求极限的常用方法，并通过丰富的例子进行说明。
一、极限的定义与性质
- 极限的定义： 设函数f(x)在点x₀的某个去心邻域内有定义，如果存在一个常数A，使得对于任意给定的正数ε（无论多么小），总存在正数δ，使得当x满足0 < |x - x₀| < δ时，都有|f(x) - A| < ε成立，那么常数A就叫做函数f(x)当x趋近于x₀时的极限，记作lim(x→x₀) f(x) = A。
- 极限的性质：
- 唯一性：若极限存在，则极限值是唯一的。
- 局部有界性：若lim(x→x₀) f(x) 存在，则f(x)在x₀的某个去心邻域内有界。
- 局部保号性：若lim(x→x₀) f(x) = A > 0 (或 A 0 (或 f(x) < 0)。
- 不等式性质：若在x₀的某个去心邻域内，f(x) ≤ g(x)，且lim(x→x₀) f(x) = A，lim(x→x₀) g(x) = B，则A ≤ B。
- 迫敛性（夹逼定理）：若在x₀的某个去心邻域内，h(x) ≤ f(x) ≤ g(x)，且lim(x→x₀) h(x) = lim(x→x₀) g(x) = A，则lim(x→x₀) f(x) = A。
二、求极限的常用方法
- 直接代入法：
- 对于一些简单的函数，如多项式函数、三角函数等，可以直接将x₀代入函数中求极限。
- 例如：lim(x→2) (x² + 3x - 1) = 2² + 3×2 - 1 = 9。
- 因式分解法：
- 当直接代入得到0/0型或∞/∞型不定式时，可以尝试通过因式分解消去分子分母中的零因子。
- 例如：lim(x→1) (x² - 1)/(x - 1) = lim(x→1) (x + 1)(x - 1)/(x - 1) = lim(x→1) (x + 1) = 2。
- 有理化法：
- 当函数中含有根式时，可以尝试通过有理化消去分子分母中的零因子。
- 例如：lim(x→0) (√(1 + x) - 1)/x = lim(x→0) (√(1 + x) - 1)(√(1 + x) + 1)/[x(√(1 + x) + 1)] = lim(x→0) x/[x(√(1 + x) + 1)] = lim(x→0) 1/(√(1 + x) + 1) = 1/2。
- 洛必达法则：
- 当遇到0/0型或∞/∞型不定式时，可以尝试使用洛必达法则。
- 洛必达法则：设函数f(x)和g(x)满足：
- lim(x→x₀) f(x) = 0，lim(x→x₀) g(x) = 0 (或 lim(x→x₀) f(x) = ∞，lim(x→x₀) g(x) = ∞)。
- f(x)和g(x)在x₀的某个去心邻域内可导，且g'(x) ≠ 0。
- lim(x→x₀) f'(x)/g'(x) 存在 (或为∞)。
- 则lim(x→x₀) f(x)/g(x) = lim(x→x₀) f'(x)/g'(x)。
- 例如：lim(x→0) sin(x)/x = lim(x→0) cos(x)/1 = 1。
- 重要极限：
- 掌握两个重要的极限：
- lim(x→0) sin(x)/x = 1。
- lim(x→∞) (1 + 1/x)^x = e。
- 可以利用这两个重要极限及其变形来求一些复杂的极限。
- 例如：lim(x→0) tan(x)/x = lim(x→0) sin(x)/(x cos(x)) = lim(x→0) sin(x)/x * lim(x→0) 1/cos(x) = 1 * 1 = 1。
- 掌握两个重要的极限：
- 夹逼定理：
- 当函数难以直接求极限时，可以尝试找到两个函数，使得待求极限的函数介于这两个函数之间，并且这两个函数的极限相同。
- 例如：求lim(x→∞) sin(x)/x。
- 因为-1 ≤ sin(x) ≤ 1，所以-1/x ≤ sin(x)/x ≤ 1/x。
- 因为lim(x→∞) -1/x = 0，lim(x→∞) 1/x = 0，所以lim(x→∞) sin(x)/x = 0。
- 等价无穷小替换：
- 当x→0时，一些常用的等价无穷小有：
- sin(x) ~ x
- tan(x) ~ x
- arcsin(x) ~ x
- arctan(x) ~ x
- 1 - cos(x) ~ x²/2
- e^x - 1 ~ x
- ln(1 + x) ~ x
- 可以利用等价无穷小替换简化极限的计算。
- 例如：lim(x→0) (e^(2x) - 1)/x = lim(x→0) (2x)/x = 2。
- 当x→0时，一些常用的等价无穷小有：
- 变量替换：
- 通过变量替换将复杂的极限转化为简单的极限。
- 例如：求lim(x→∞) x sin(1/x)。
- 令t = 1/x，则当x→∞时，t→0。
- 原式 = lim(t→0) (1/t) sin(t) = lim(t→0) sin(t)/t = 1。
- 单侧极限：
- 当函数在某点的左右极限不相等时，函数在该点不存在极限。
- 在某些情况下，需要分别求左极限和右极限。
- 例如：函数f(x) = |x|/x，当x→0时，左极限为-1，右极限为1，因此lim(x→0) f(x)不存在。
三、总结
求极限的方法多种多样，具体选择哪种方法取决于函数的具体形式。需要熟练掌握各种方法，并灵活运用。在解题过程中，要仔细观察函数的特点，选择合适的方法，并注意验算，确保结果的正确性。
篇2：《求极限的方法总结：侧重数列极限》
数列极限是高等数学的重要组成部分，它不仅是学习函数极限的基础，也是解决许多实际问题的关键。本文将重点讨论数列极限的求法，并结合实例进行详细分析。
一、数列极限的定义与性质
- 数列极限的定义： 设{xₙ}为一个数列，如果存在常数A，对于任意给定的正数ε（无论多么小），总存在正整数N，使得当n > N时，都有|xₙ - A| < ε成立，那么常数A就叫做数列{xₙ}的极限，记作lim(n→∞) xₙ = A。
- 数列极限的性质：
- 唯一性：若数列极限存在，则极限值是唯一的。
- 有界性：若数列{xₙ}收敛，则{xₙ}有界。
- 保号性：若lim(n→∞) xₙ = A > 0 (或 A N时，都有xₙ > 0 (或 xₙ < 0)。
- 子数列的极限：若数列{xₙ}收敛于A，则它的任何子数列也收敛于A。
二、求数列极限的常用方法
- 直接代入法：
- 对于一些简单的数列，可以直接将n趋近于无穷大时的情况代入数列中求极限。
- 例如：lim(n→∞) 1/n = 0。
- 夹逼定理（数列形式）：
- 若存在两个数列{yₙ}和{zₙ}，使得yₙ ≤ xₙ ≤ zₙ，且lim(n→∞) yₙ = lim(n→∞) zₙ = A，则lim(n→∞) xₙ = A。
- 例如：求lim(n→∞) (sin(n))/n。
- 因为-1 ≤ sin(n) ≤ 1，所以-1/n ≤ (sin(n))/n ≤ 1/n。
- 因为lim(n→∞) -1/n = 0，lim(n→∞) 1/n = 0，所以lim(n→∞) (sin(n))/n = 0。
- 单调有界准则：
- 单调有界准则：单调有界数列必有极限。
- 证明数列极限存在，并求出极限值，是单调有界准则的典型应用。
- 证明思路：
- 证明数列单调性（递增或递减）。
- 证明数列有界（存在上界或下界）。
- 设极限存在，设lim(n→∞) xₙ = A，然后利用数列的递推公式求出A的值。
- 例如：已知x₁ = √2，xₙ₊₁ = √(2 + xₙ)，求lim(n→∞) xₙ。
- 证明单调性：
- x₂ = √(2 + x₁) = √(2 + √2) > √2 = x₁。
- 假设xₖ > xₖ₋₁，则xₖ₊₁ = √(2 + xₖ) > √(2 + xₖ₋₁) = xₖ。
- 所以数列{xₙ}单调递增。
- 证明有界性：
- x₁ = √2 < 2。
- 假设xₖ < 2，则xₖ₊₁ = √(2 + xₖ) < √(2 + 2) = 2。
- 所以数列{xₙ}有上界，且上界为2。
- 求极限：
- 因为数列{xₙ}单调递增且有上界，所以极限存在。
- 设lim(n→∞) xₙ = A，则lim(n→∞) xₙ₊₁ = A。
- 因为xₙ₊₁ = √(2 + xₙ)，所以A = √(2 + A)。
- 解得A = 2 (A = -1舍去)。
- 所以lim(n→∞) xₙ = 2。
- 证明单调性：
- ** Stolz定理：**
- Stolz定理是求数列极限的有力工具，尤其适用于处理分子分母都趋于无穷大的不定式。
- 定理内容： 设{xₙ}和{yₙ}是两个数列，其中{yₙ}严格单调递增（或递减）且趋于无穷大，如果lim(n→∞) (xₙ₊₁ - xₙ)/(yₙ₊₁ - yₙ) = A (或∞)，则lim(n→∞) xₙ/yₙ = A (或∞)。
- 使用Stolz定理的步骤：
- 判断数列{yₙ}是否严格单调递增（或递减）且趋于无穷大。
- 计算(xₙ₊₁ - xₙ)/(yₙ₊₁ - yₙ)。
- 求lim(n→∞) (xₙ₊₁ - xₙ)/(yₙ₊₁ - yₙ)。
- 根据Stolz定理，得到lim(n→∞) xₙ/yₙ的值。
- 例如：求lim(n→∞) (1² + 2² + ... + n²)/n³。
- 设xₙ = 1² + 2² + ... + n²，yₙ = n³。
- 显然，{yₙ}严格单调递增且趋于无穷大。
- (xₙ₊₁ - xₙ)/(yₙ₊₁ - yₙ) = (n + 1)²/[(n + 1)³ - n³] = (n² + 2n + 1)/(3n² + 3n + 1)。
- lim(n→∞) (xₙ₊₁ - xₙ)/(yₙ₊₁ - yₙ) = lim(n→∞) (n² + 2n + 1)/(3n² + 3n + 1) = 1/3。
- 所以lim(n→∞) (1² + 2² + ... + n²)/n³ = 1/3。
- 转化为函数极限：
- 如果数列{xₙ}可以看作是某个函数f(x)在正整数上的取值，即xₙ = f(n)，那么可以考虑将数列极限转化为函数极限。
- 如果lim(x→∞) f(x) = A，则lim(n→∞) xₙ = A。
- 例如：求lim(n→∞) (1 + 1/n)^n。
- 令f(x) = (1 + 1/x)^x，则xₙ = f(n)。
- lim(x→∞) (1 + 1/x)^x = e。
- 所以lim(n→∞) (1 + 1/n)^n = e。
三、总结
求数列极限的方法需要根据数列的具体形式灵活选择。掌握夹逼定理和单调有界准则是解决数列极限问题的关键。Stolz定理在处理一些特殊类型的数列极限时非常有效。同时，也要注意将数列极限与函数极限联系起来，利用函数极限的知识解决数列极限问题。
篇3：《求极限的方法总结：侧重函数极限的应用》
极限理论是微积分的基础，而函数极限的应用更是广泛。本文将重点介绍函数极限在解决实际问题中的应用，并结合实例进行详细分析。
一、函数极限的基本应用
- 判断函数的连续性：
- 函数f(x)在点x₀处连续的定义：lim(x→x₀) f(x) = f(x₀)。
- 如果函数在某点处的极限值等于该点处的函数值，则函数在该点处连续。
- 利用极限可以判断函数在某点处是否连续，以及判断函数在某个区间上的连续性。
- 求函数的渐近线：
- 渐近线是函数图像在无穷远处趋近的一条直线。
- 水平渐近线： 若lim(x→∞) f(x) = A (或 lim(x→-∞) f(x) = A)，则y = A是函数f(x)的水平渐近线。
- 垂直渐近线： 若lim(x→x₀) f(x) = ∞ (或 lim(x→x₀) f(x) = -∞)，则x = x₀是函数f(x)的垂直渐近线。
- 斜渐近线： 若lim(x→∞) [f(x) - (ax + b)] = 0 (或 lim(x→-∞) [f(x) - (ax + b)] = 0)，则y = ax + b是函数f(x)的斜渐近线。
- 其中，a = lim(x→∞) f(x)/x，b = lim(x→∞) [f(x) - ax]。
- 通过求极限可以确定函数的各种渐近线，从而更好地了解函数的图像特征。
- 求导数的定义：
- 函数f(x)在点x₀处的导数的定义：f'(x₀) = lim(Δx→0) [f(x₀ + Δx) - f(x₀)]/Δx。
- 导数是函数在某一点处的变化率，是微积分的重要概念。
- 利用极限可以推导出各种函数的导数公式。
二、函数极限在实际问题中的应用
- 求解物理问题：
- 瞬时速度： 瞬时速度是物体在某一时刻的速度，可以用极限来表示：v = lim(Δt→0) Δs/Δt，其中Δs是时间间隔Δt内的位移。
- 加速度： 加速度是物体速度的变化率，可以用极限来表示：a = lim(Δt→0) Δv/Δt，其中Δv是时间间隔Δt内的速度变化。
- 电路分析： 电路中的电流和电压等物理量随时间变化，可以用函数来描述，利用极限可以分析电路的稳态特性。
- 求解经济问题：
- 边际成本： 边际成本是增加一单位产量所带来的成本增加，可以用极限来表示：MC = lim(ΔQ→0) ΔC/ΔQ，其中ΔC是产量增加ΔQ所带来的成本增加。
- 边际收益： 边际收益是增加一单位销售量所带来的收益增加，可以用极限来表示：MR = lim(ΔQ→0) ΔR/ΔQ，其中ΔR是销售量增加ΔQ所带来的收益增加。
- 弹性： 弹性是衡量一个变量对另一个变量变化的敏感程度，可以用极限来表示。例如，需求价格弹性：Ed = lim(ΔP→0) (ΔQ/Q)/(ΔP/P)，其中Q是需求量，P是价格。
- 求解工程问题：
- 信号处理： 信号可以表示为时间的函数，利用极限可以分析信号的频率特性和稳定性。
- 控制系统： 控制系统的性能可以用一些指标来衡量，例如稳态误差、超调量等，这些指标可以用极限来表示。
- 建筑设计： 建筑物的结构设计需要考虑各种载荷的作用，利用极限可以分析结构的稳定性和安全性。
三、实例分析
例1： 一物体做直线运动，其位移s与时间t的关系为s(t) = 2t² + 3t，求该物体在t = 2时的瞬时速度。
- 解：
- v = lim(Δt→0) [s(2 + Δt) - s(2)]/Δt
- s(2 + Δt) = 2(2 + Δt)² + 3(2 + Δt) = 8 + 8Δt + 2(Δt)² + 6 + 3Δt = 14 + 11Δt + 2(Δt)²
- s(2) = 2(2)² + 3(2) = 8 + 6 = 14
- v = lim(Δt→0) [14 + 11Δt + 2(Δt)² - 14]/Δt = lim(Δt→0) [11Δt + 2(Δt)²]/Δt = lim(Δt→0) (11 + 2Δt) = 11
- 所以，该物体在t = 2时的瞬时速度为11。
例2： 某公司生产某种产品的总成本C(Q) = 100 + 20Q + 0.1Q²，求当产量Q = 100时的边际成本。
- 解：
- MC = lim(ΔQ→0) [C(100 + ΔQ) - C(100)]/ΔQ
- C(100 + ΔQ) = 100 + 20(100 + ΔQ) + 0.1(100 + ΔQ)² = 100 + 2000 + 20ΔQ + 0.1(10000 + 200ΔQ + (ΔQ)²) = 100 + 2000 + 20ΔQ + 1000 + 20ΔQ + 0.1(ΔQ)² = 3100 + 40ΔQ + 0.1(ΔQ)²
- C(100) = 100 + 20(100) + 0.1(100)² = 100 + 2000 + 1000 = 3100
- MC = lim(ΔQ→0) [3100 + 40ΔQ + 0.1(ΔQ)² - 3100]/ΔQ = lim(ΔQ→0) [40ΔQ + 0.1(ΔQ)²]/ΔQ = lim(ΔQ→0) (40 + 0.1ΔQ) = 40
- 所以，当产量Q = 100时的边际成本为40。
四、总结
函数极限在解决实际问题中具有广泛的应用，例如判断函数的连续性、求函数的渐近线、求解物理问题、经济问题和工程问题等。掌握函数极限的定义和性质，以及熟练运用各种求极限的方法，是解决这些问题的关键。通过实例分析，可以更好地理解函数极限的应用，并提高解决实际问题的能力。
篇4：《求极限的方法总结：侧重特殊函数的极限》
在求极限问题中，一些特殊函数，如分段函数、绝对值函数、取整函数等，由于其特殊性，需要采用特定的方法进行处理。本文将重点介绍这些特殊函数的极限求法。
一、分段函数的极限
- 分段函数的定义： 分段函数是在定义域的不同区间上，有不同的表达式的函数。
- 分段函数极限的求法：
- 如果要求分段函数在分段点处的极限，需要分别求出该点的左极限和右极限。
- 如果左极限和右极限都存在且相等，则该点处的极限存在，且等于左极限和右极限的值。
- 如果左极限和右极限不相等，则该点处的极限不存在。
- 实例分析：
- 设f(x) = {x², x < 1; 2x - 1, x ≥ 1}，求lim(x→1) f(x)。
- 左极限：lim(x→1⁻) f(x) = lim(x→1⁻) x² = 1。
- 右极限：lim(x→1⁺) f(x) = lim(x→1⁺) (2x - 1) = 2 * 1 - 1 = 1。
- 因为左极限等于右极限，所以lim(x→1) f(x) = 1。
- 设f(x) = {x + 1, x < 0; x - 1, x ≥ 0}，求lim(x→0) f(x)。
- 左极限：lim(x→0⁻) f(x) = lim(x→0⁻) (x + 1) = 1。
- 右极限：lim(x→0⁺) f(x) = lim(x→0⁺) (x - 1) = -1。
- 因为左极限不等于右极限，所以lim(x→0) f(x)不存在。
- 设f(x) = {x², x < 1; 2x - 1, x ≥ 1}，求lim(x→1) f(x)。
二、绝对值函数的极限
- 绝对值函数的定义： |x| = {x, x ≥ 0; -x, x < 0}。
- 绝对值函数极限的求法：
- 当x趋近于某一点时，需要根据该点附近的x的符号，将绝对值函数转化为分段函数进行处理。
- 分别求出左极限和右极限，判断极限是否存在。
- 实例分析：
- 求lim(x→0) |x|/x。
- 当x > 0时，|x| = x，所以lim(x→0⁺) |x|/x = lim(x→0⁺) x/x = 1。
- 当x < 0时，|x| = -x，所以lim(x→0⁻) |x|/x = lim(x→0⁻) -x/x = -1。
- 因为左极限不等于右极限，所以lim(x→0) |x|/x不存在。
- 求lim(x→2) |x - 2|/(x - 2)。
- 当x > 2时，|x - 2| = x - 2，所以lim(x→2⁺) |x - 2|/(x - 2) = lim(x→2⁺) (x - 2)/(x - 2) = 1。
- 当x < 2时，|x - 2| = -(x - 2)，所以lim(x→2⁻) |x - 2|/(x - 2) = lim(x→2⁻) -(x - 2)/(x - 2) = -1。
- 因为左极限不等于右极限，所以lim(x→2) |x - 2|/(x - 2)不存在。
- 求lim(x→0) |x|/x。
三、取整函数的极限
- 取整函数的定义： [x]表示不超过x的最大整数。
- 取整函数极限的求法：
- 取整函数是不连续的函数，在整数点处发生跳跃。
- 求取整函数的极限时，需要分别求出左极限和右极限。
- 注意取整函数的性质：x - 1 < [x] ≤ x。
- 实例分析：
- 求lim(x→2) [x]。
- 左极限：lim(x→2⁻) [x] = 1。
- 右极限：lim(x→2⁺) [x] = 2。
- 因为左极限不等于右极限，所以lim(x→2) [x]不存在。
- 求lim(x→∞) [x]/x。
- 因为x - 1 < [x] ≤ x，所以(x - 1)/x < [x]/x ≤ x/x。
- 即1 - 1/x < [x]/x ≤ 1。
- 因为lim(x→∞) (1 - 1/x) = 1，lim(x→∞) 1 = 1，所以根据夹逼定理，lim(x→∞) [x]/x = 1。
- 求lim(x→2) [x]。
四、总结
处理特殊函数的极限问题需要特别注意其特殊性质。对于分段函数，要分别求左右极限；对于绝对值函数，要根据自变量的符号进行转化；对于取整函数，要利用其不连续性和性质进行分析。掌握这些方法，可以有效地解决特殊函数的极限问题。
篇5：《求极限的方法总结：侧重复合函数的极限》
复合函数是高等数学中常见的函数形式，其极限问题也具有一定的复杂性。本文将重点介绍复合函数的极限求法，并结合实例进行详细分析。
一、复合函数的定义与极限
- 复合函数的定义： 设y = f(u)，u = g(x)，且g(x)的值域包含于f(u)的定义域，则y = f(g(x))称为复合函数。
- 复合函数极限的求法：
- 定理： 设函数u = g(x)，f(u)满足：
- lim(x→x₀) g(x) = u₀。
- lim(u→u₀) f(u) = A。
- 存在δ > 0，当0 < |x - x₀| < δ时，g(x) ≠ u₀。（这个条件非常重要，但经常被忽略）
- 则lim(x→x₀) f(g(x)) = A。
- 注意：
- 上述定理的条件需要严格满足，特别是g(x) ≠ u₀这个条件。
- 如果g(x) = u₀，则需要用其他方法进行处理。
- 在实际应用中，经常会遇到g(x)连续的情况，此时可以直接将g(x₀)代入f(u)中求极限。
- 定理： 设函数u = g(x)，f(u)满足：
二、复合函数极限的常用方法
- 直接代入法：
- 如果g(x)和f(u)都比较简单，且满足上述定理的条件，可以直接将g(x)的极限值代入f(u)中求极限。
- 例如：求lim(x→0) sin(x²)/x²。
- 令u = x²，则lim(x→0) x² = 0。
- lim(u→0) sin(u)/u = 1。
- 因为x² ≠ 0 (当x ≠ 0时)，所以lim(x→0) sin(x²)/x² = 1。
- 变量替换法：
- 当复合函数比较复杂时，可以尝试通过变量替换将其转化为简单的函数求极限。
- 例如：求lim(x→∞) (1 + 1/x)^(sin(1/x) * x)。
- 令t = 1/x，则当x→∞时，t→0。
- 原式 = lim(t→0) (1 + t)^(sin(t)/t)。
- 因为lim(t→0) sin(t)/t = 1，所以原式 = lim(t→0) (1 + t)¹ = 1。
- 等价无穷小替换法：
- 当g(x)趋近于0时，可以利用等价无穷小替换简化复合函数的极限计算。
- 例如：求lim(x→0) ln(cos(x))/x²。
- 因为当x→0时，cos(x) ~ 1 - x²/2，所以ln(cos(x)) ~ ln(1 - x²/2) ~ -x²/2。
- 所以lim(x→0) ln(cos(x))/x² = lim(x→0) (-x²/2)/x² = -1/2。
- 洛必达法则：
- 当复合函数出现0/0型或∞/∞型不定式时，可以尝试使用洛必达法则。
- 例如：求lim(x→0) e^(sin(x)) - cos(x) /x。
- 原式= lim(x→0) (e^(sin(x))*cos(x) + sin(x))/1 = 1
- 复合函数极限的连续性：
- 如果g(x)在x₀处连续，f(u)在u₀ = g(x₀)处连续，那么f(g(x))在x₀处也连续，即lim(x→x₀)f(g(x)) = f(g(x₀)).
- 例如：求lim(x→0) e^(x^2). 由于g(x)=x^2和f(u)=e^u 均为连续函数，因此lim(x→0) e^(x^2) = e^(0^2)=1. 三、总结
求复合函数的极限需要灵活运用各种方法，例如直接代入法、变量替换法、等价无穷小替换法和洛必达法则。在应用这些方法时，需要注意复合函数定理的条件，特别是g(x) ≠ u₀这个条件。同时，也要注意观察复合函数的特点，选择合适的方法进行求解。
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